立体几何双动点最值问题 - 交互式3D可视化与解题分析

步骤1：建立空间直角坐标系

以\(A\)为原点，\(AB\)为\(x\)-轴，\(AD\)为\(y\)-轴，\(PA\)为\(z\)-轴，各点坐标为：

\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(D(0,1,0)\)，\(C(2,1,0)\)，\(P(0,0,1)\)。

步骤2：表示动点轨迹的坐标约束

1. 动点\(F\)（直线\(PB\)上）：

直线\(PB\)的参数方程为\(F(t, 0, 1-t)\)（\(t \in \mathbb{R}\)，\(t=0\)对应\(P\)，\(t=1\)对应\(B\)）；

2. 动点\(E\)（侧面\(PCD\)内，以\(P\)为圆心、1为半径）：
• 平面\(PCD\)的方程：\(y+z=1 \implies z=1-y\)；
• 球面方程（\(PE=1\)）：\(x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1\)；
• 联立得轨迹方程：\(x^2 + 2y^2 = 1\)（\(x \geq 0, y \geq 0\)，侧面内的约束）。

步骤3：计算\(EF^2\)并转化为二次函数

由空间两点间距离公式，\(EF^2 = (x-t)^2 + y^2 + (z-(1-t))^2\)，代入\(z=1-y\)化简：

代入\(x^2 + 2y^2 = 1\)，得：

步骤4：求二次函数的最小值

式（1）是关于\(t\)的二次函数，开口向上（系数\(2>0\)），最小值在顶点处：

将其代入式（1），得：

步骤5：用判别式法求\(x+y\)的最大值

设\(k = x + y\)，则\(x = k - y\)，代入\(x^2 + 2y^2 = 1\)并整理：

因\(x, y\)为实数，故判别式\(\Delta \geq 0\)：

即\((x+y)_{\text{max}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)。

步骤6：计算\(EF\)的最小值

将\((x+y)_{\text{max}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)代入式（2）：

步骤1：建立空间直角坐标系（同方法二）

各点坐标为：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(D(0,1,0)\)，\(C(2,1,0)\)，\(P(0,0,1)\)。

步骤2：用三角函数表示动点\(E\)的坐标

动点\(E\)的轨迹为\(x^2 + 2y^2 = 1\)（椭圆），由椭圆的参数方程，设：

代入平面方程\(z=1-y\)，得\(E\)的坐标：

步骤3：表示动点\(F\)的坐标

直线\(PB\)的参数方程为：\(F(t, 0, 1-t)\)（\(t \in \mathbb{R}\)）。

步骤4：计算\(EF^2\)并化简

由距离公式：

步骤5：用辅助角公式求最值

1. 对\(t\)求二次函数的最小值，得：
\[EF^2_{\text{min}} = 1 - \frac{1}{2} \left( \cos\theta + \frac{\sin\theta}{\sqrt{2}} \right)^2\]
2. 用辅助角公式化简\(\cos\theta + \frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\)：
\[\cos\theta + \frac{\sin\theta}{\sqrt{2}} = \sqrt{1^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2} \sin(\theta + \phi) = \sqrt{\frac{3}{2}} \sin(\theta + \phi)\]

其中\(\phi = \arctan\sqrt{2}\)，其最大值为\(\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}\)。

步骤6：计算\(EF\)的最小值

将最大值代入，得：