🎯 均值不等式几何可视化
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💡 交互提示：拖动滑块可改变AC长度，实时查看$HM \leq GM \leq AM \leq QM$的几何意义与数值变化
📚 核心知识精讲
1. 基本不等式核心结论
若 $a>0,b>0$，则 $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，当且仅当 $a=b$ 时取等号
几何直观：$\frac{a+b}{2}$ 为算术平均，$\sqrt{ab}$ 为几何平均
2. 常用基础不等式（$a,b \in R$）
$a^2+b^2 \geq 2ab$，当且仅当 $a=b$ 取等
$a,b \in R^*$ 时，$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$（即 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$），当且仅当 $a=b$ 取等
$a,b \in R^*$ 时，$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$（即 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$），当且仅当 $a=b$ 取等
3. 高频变形不等式
$a^2+3b^2 \geq 2b(a+b)$
$2a^2+2b^2 \geqslant (a+b)^2$（$a,b \in R$）
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \geqslant 4\sqrt{ab}$
$ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（$a,b \in R^*$）
$2a^2+2b^2 \geqslant (a+b)^2$（$a,b \in R$）
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \geqslant 4\sqrt{ab}$
$ab \leqslant \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（$a,b \in R^*$）
4. 定值最值结论
✅ 若 $x>0,y>0$，$x+y=s$（和定值）：当 $x=y$ 时，$xy$ 取最大值 $\frac{s^2}{4}$
✅ 若 $x>0,y>0$，$xy=p$（积定值）：当 $x=y$ 时，$x+y$ 取最小值 $2\sqrt{p}$
✅ 若 $x>0,y>0$，$xy=p$（积定值）：当 $x=y$ 时，$x+y$ 取最小值 $2\sqrt{p}$
5. 配凑型通用公式
$mx+\frac{n}{x} \geq 2\sqrt{mn}\ (m>0,n>0)$，当 $x=\sqrt{\frac{n}{m}}$ 取等
$mx+\frac{n}{x-a}=m(x-a)+\frac{n}{x-a}+ma \geq 2\sqrt{mn}+ma$
$\frac{ax^2+bx+c}{x}=ax+b+\frac{c}{x} \geq 2\sqrt{ac}+b\ (a>0,c>0)$
$mx+\frac{n}{x-a}=m(x-a)+\frac{n}{x-a}+ma \geq 2\sqrt{mn}+ma$
$\frac{ax^2+bx+c}{x}=ax+b+\frac{c}{x} \geq 2\sqrt{ac}+b\ (a>0,c>0)$
📝 常考题型分类
题型一 直接使用
模型一：$mx+\frac{n}{x} \geq 2\sqrt{mn}(m>0,n>0)$，当且仅当 $x=\sqrt{\frac{n}{m}}$ 时等号成立；
模型二：$mx+\frac{n}{x-a}=m(x-a)+\frac{n}{x-a}+ma \geq 2\sqrt{mn}+ma(m>0,n>0)$，当且仅当 $x-a=\sqrt{\frac{n}{m}}$ 时等号成立；
模型三：$\frac{ax^2+bx+c}{x}=ax+b+\frac{c}{x} \geq 2\sqrt{ac}+b(a>0,c>0)$，当且仅当 $ax=\frac{c}{x}$ 时等号成立。
模型二：$mx+\frac{n}{x-a}=m(x-a)+\frac{n}{x-a}+ma \geq 2\sqrt{mn}+ma(m>0,n>0)$，当且仅当 $x-a=\sqrt{\frac{n}{m}}$ 时等号成立；
模型三：$\frac{ax^2+bx+c}{x}=ax+b+\frac{c}{x} \geq 2\sqrt{ac}+b(a>0,c>0)$，当且仅当 $ax=\frac{c}{x}$ 时等号成立。
（2024·上海）
已知 $ab=1$，求 $4a^2+9b^2$ 的最小值
解析：由 $ab=1$，$4a^2+9b^2 \geq 2\cdot2a\cdot3b=12ab=12$，
当且仅当 $2a=3b$，即 $a=\frac{\sqrt{6}}{2},b=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $a=-\frac{\sqrt{6}}{2},b=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时取最小值 $12$，
所以 $4a^2+9b^2$ 的最小值为 $12$，故答案为 $12$。
当且仅当 $2a=3b$，即 $a=\frac{\sqrt{6}}{2},b=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $a=-\frac{\sqrt{6}}{2},b=-\frac{\sqrt{6}}{3}$ 时取最小值 $12$，
所以 $4a^2+9b^2$ 的最小值为 $12$，故答案为 $12$。
题型二 “1”的代换
形如 $x+y=1$ 和 $\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1$ 的形式，可以让两个式子进行相乘构造出基本不等式的倒数结构
（2015·福建）
若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a>0,b>0)$ 过点 $(1,1)$，则 $a+b$ 的最小值等于（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：因为直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a>0,b>0)$ 过点 $(1,1)$，所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1(a>0,b>0)$，
所以 $a+b=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=4$，
当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$ 即 $a=b=2$ 时取等号，所以 $a+b$ 最小值是 $4$，故选 C。
所以 $a+b=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=4$，
当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$ 即 $a=b=2$ 时取等号，所以 $a+b$ 最小值是 $4$，故选 C。
题型三 换元与消元
消参法就是对应不等式中的两元问题，一般是二元二次问题（也有更高次），用一个参数去表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解。尤其遇到双元分式问题，我们可以采用双换元的方法，分别运用两个分式的分母作为两个新的参数，再转化为新参数的不等关系。
（2020·江苏）
已知 $5x^2y^2+y^4=1(x,y\in R)$，则 $x^2+y^2$ 的最小值是
解析：由 $5x^2y^2+y^4=1$ 可得 $x^2=\frac{1-y^4}{5y^2}$，
则 $x^2+y^2=\frac{1-y^4}{5y^2}+y^2=\frac{1+4y^4}{5y^2}=\frac{1}{5}\left(4y^2+\frac{1}{y^2}\right)$，
由基本不等式得 $4y^2+\frac{1}{y^2} \geq 2\sqrt{4y^2\cdot\frac{1}{y^2}}=4$，
当且仅当 $4y^2=\frac{1}{y^2}$ 即 $y^2=\frac{1}{2}$ 时取等号，
故 $x^2+y^2 \geq \frac{4}{5}$，即最小值为 $\frac{4}{5}$。
则 $x^2+y^2=\frac{1-y^4}{5y^2}+y^2=\frac{1+4y^4}{5y^2}=\frac{1}{5}\left(4y^2+\frac{1}{y^2}\right)$，
由基本不等式得 $4y^2+\frac{1}{y^2} \geq 2\sqrt{4y^2\cdot\frac{1}{y^2}}=4$，
当且仅当 $4y^2=\frac{1}{y^2}$ 即 $y^2=\frac{1}{2}$ 时取等号，
故 $x^2+y^2 \geq \frac{4}{5}$，即最小值为 $\frac{4}{5}$。
题型四 齐次化
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。
例7
已知 $x>0$，$y>0$，$x+2y=1$，则 $\frac{(x+1)(y+1)}{xy}$ 的最小值为（）
A. $4+4\sqrt{3}$ B. $12$ C. $8+4\sqrt{3}$ D. $16$
A. $4+4\sqrt{3}$ B. $12$ C. $8+4\sqrt{3}$ D. $16$
解析：由 $x+2y=1$ 可得，$\frac{(x+1)(y+1)}{xy}=\frac{(x+x+2y)(y+x+2y)}{xy}=\frac{(2x+2y)(x+3y)}{xy}$
$=\frac{2x^2+8xy+6y^2}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{6y}{x}+8 \geq 2\sqrt{\frac{2x}{y} \times \frac{6y}{x}}+8=8+4\sqrt{3}$
当且仅当 $\frac{2x}{y}=\frac{6y}{x}$ 时，等号成立，即 $x^2=3y^2$，所以 $\frac{(x+1)(y+1)}{xy}$ 的最小值为 $8+4\sqrt{3}$，故选 C。
$=\frac{2x^2+8xy+6y^2}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{6y}{x}+8 \geq 2\sqrt{\frac{2x}{y} \times \frac{6y}{x}}+8=8+4\sqrt{3}$
当且仅当 $\frac{2x}{y}=\frac{6y}{x}$ 时，等号成立，即 $x^2=3y^2$，所以 $\frac{(x+1)(y+1)}{xy}$ 的最小值为 $8+4\sqrt{3}$，故选 C。
📌 高考真题链接
（2025•北京）
已知 $a>0,b>0$，则（ ）
A. $a+b≥2\sqrt{ab}$ B. $a^2+b^2≥2ab$ C. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{\sqrt{ab}}$ D. $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥1$
A. $a+b≥2\sqrt{ab}$ B. $a^2+b^2≥2ab$ C. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥\frac{2}{\sqrt{ab}}$ D. $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥1$
【解答】解：因为 $a>0,b>0$，所以 $a^2+b^2\geq 2ab$，当且仅当 $a=b$ 时，等号成立，所以选项错误；
取 $a=1,b=4$，则 $a+b=5$，$2\sqrt{ab}=4$，而 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{4}$，$\frac{2}{\sqrt{ab}}=1$，所以选项错误；
因为 $a^2+b^2\geq 2ab$，所以选项正确；
因为 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq 2$，所以选项错误．
故选：C．
取 $a=1,b=4$，则 $a+b=5$，$2\sqrt{ab}=4$，而 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{5}{4}$，$\frac{2}{\sqrt{ab}}=1$，所以选项错误；
因为 $a^2+b^2\geq 2ab$，所以选项正确；
因为 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq 2$，所以选项错误．
故选：C．
（2021•新高考Ⅰ）
已知 $F_1,F_2$ 是椭圆的两个焦点，点 $M$ 在椭圆上，则 $|MF_1|\cdot|MF_2|$ 的最大值为（ ）
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
A. 13 B. 12 C. 9 D. 6
【解答】解：$F_1,F_2$ 是椭圆的两个焦点，点 $M$ 在椭圆上，$|MF_1|+|MF_2|=6$，
所以 $|MF_1|\cdot|MF_2|\leq (\frac{|MF_1|+|MF_2|}{2})^2=9$，当且仅当 $|MF_1|=|MF_2|$ 时，取等号，
所以 $|MF_1|\cdot|MF_2|$ 的最大值为9．
故选：C．
所以 $|MF_1|\cdot|MF_2|\leq (\frac{|MF_1|+|MF_2|}{2})^2=9$，当且仅当 $|MF_1|=|MF_2|$ 时，取等号，
所以 $|MF_1|\cdot|MF_2|$ 的最大值为9．
故选：C．
（2021•天津）
已知 $a>0,b>0$，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}$ 的最小值为 ．
【解答】解：法一：$a>0,b>0$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{ab}}=\frac{4}{\sqrt{ab}}$，
当且仅当 $a=b$ 且 $\frac{4}{\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}$ 即 $a=b=1$ 时取等号，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}$ 的最小值为4，
法二：$a>0,b>0$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{\sqrt{ab}}$，
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}+\frac{2}{\sqrt{ab}}=\frac{4}{\sqrt{ab}}\geq 4$，
当且仅当 $a=b$，即 $a=b=1$ 时取等号，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}$ 的最小值为4，
故答案为：4．
当且仅当 $a=b$ 且 $\frac{4}{\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}$ 即 $a=b=1$ 时取等号，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}$ 的最小值为4，
法二：$a>0,b>0$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{\sqrt{ab}}$，
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}}+\frac{2}{\sqrt{ab}}=\frac{4}{\sqrt{ab}}\geq 4$，
当且仅当 $a=b$，即 $a=b=1$ 时取等号，
所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2\sqrt{ab}}{ab}$ 的最小值为4，
故答案为：4．
（2020•山东·多选）
已知 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，则（ ）
A. $a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$ B. $2^{a-b}>\frac{1}{2}$ C. $\log_2a+\log_2b\geq-2$ D. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$
A. $a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$ B. $2^{a-b}>\frac{1}{2}$ C. $\log_2a+\log_2b\geq-2$ D. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$
【解答】解：①已知 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，所以 $a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2}$，则 $a^2+b^2\geq\frac{1}{2}$，故正确．
②利用分析法：要证 $2^{a-b}>\frac{1}{2}$，只需证明 $a-b>-1$ 即可，即 $a>b-1$，由于 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，所以：$a>0,b-1<0$，故正确．
③$\log_2a+\log_2b=\log_2(ab)\leq\log_2(\frac{a+b}{2})^2=-2$，故错误．
④由于 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，
利用分析法：要证 $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$ 成立，只需对关系式进行平方，整理得 $a+b+2\sqrt{ab}\leq2$，即 $2\sqrt{ab}\leq1$，故 $\sqrt{ab}\leq\frac{1}{2}$，当且仅当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立．故正确．
故选：ABD．
②利用分析法：要证 $2^{a-b}>\frac{1}{2}$，只需证明 $a-b>-1$ 即可，即 $a>b-1$，由于 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，所以：$a>0,b-1<0$，故正确．
③$\log_2a+\log_2b=\log_2(ab)\leq\log_2(\frac{a+b}{2})^2=-2$，故错误．
④由于 $a>0,b>0$，且 $a+b=1$，
利用分析法：要证 $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}$ 成立，只需对关系式进行平方，整理得 $a+b+2\sqrt{ab}\leq2$，即 $2\sqrt{ab}\leq1$，故 $\sqrt{ab}\leq\frac{1}{2}$，当且仅当 $a=b=\frac{1}{2}$ 时，等号成立．故正确．
故选：ABD．
（2022•新高考Ⅱ·多选）
若 $x,y$ 满足 $x+y=1$，则（ ）
A. $x^2+y^2\geq1$ B. $x^2+y^2\geq\frac{1}{2}$ C. $x^2+y^2\leq1$ D. $x^2+y^2\leq2$
A. $x^2+y^2\geq1$ B. $x^2+y^2\geq\frac{1}{2}$ C. $x^2+y^2\leq1$ D. $x^2+y^2\leq2$
【解答】解：方法一：由 $x+y=1$ 可得，$y=1-x$，
令 $x^2+y^2=t$，则 $x^2+(1-x)^2=t$，
$2x^2-2x+1-t=0$，$\Delta=4-8(1-t)\geq0$，故 $t\geq\frac{1}{2}$，故A错，B对，
$x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\leq1$，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，$x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$，由 $x+y=1$ 可得，$x^2+y^2\geq\frac{1}{2}$，即 $x^2+y^2\geq\frac{1}{2}$，
故A错，B对，
对于C，D，$x^2+y^2\leq(x+y)^2=1$，由 $x+y=1$ 得，$x^2+y^2\leq1$，
故C对；
$x^2+y^2\leq2$ 不恒成立，
故错误．
故选：BC．
令 $x^2+y^2=t$，则 $x^2+(1-x)^2=t$，
$2x^2-2x+1-t=0$，$\Delta=4-8(1-t)\geq0$，故 $t\geq\frac{1}{2}$，故A错，B对，
$x^2+y^2=x^2+(1-x)^2=2x^2-2x+1=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}\leq1$，
故C对，D错，
方法二：对于A，B，$x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$，由 $x+y=1$ 可得，$x^2+y^2\geq\frac{1}{2}$，即 $x^2+y^2\geq\frac{1}{2}$，
故A错，B对，
对于C，D，$x^2+y^2\leq(x+y)^2=1$，由 $x+y=1$ 得，$x^2+y^2\leq1$，
故C对；
$x^2+y^2\leq2$ 不恒成立，
故错误．
故选：BC．
🧠 拓展思维
拓展1 柯西不等式
柯西不等式二元式：设 $a,b,c,d \in R$，有 $(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geqslant (ac+bd)^2$，当且仅当 $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ 时等号成立。
模型一：分母的倍数和为常数 $(a+b)\left(\frac{m}{a}+\frac{n}{b}\right) \geqslant (\sqrt{m}+\sqrt{n})^2$，其中 $a,b,m,n \in R^*$。
例如：$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \geqslant \left(\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}+\sqrt{b\cdot\frac{1}{b}}\right)^2=4$
模型二：一高一低和式配凑类型 $(x^2+y^2)(m^2+n^2) \geqslant (mx+ny)^2$，其中 $m,n \in R$。
例：$(a^2+b^2)(1+1) \geqslant (a+b)^2$ 或者写成 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geqslant \frac{a+b}{2}$
模型三：同次积式配凑类型
已知 $xy$ 的值，求 $(x+m)(y+n)(m,n \in R^*)$ 的最值，利用 $(x+m)(y+n) \geqslant (\sqrt{xy}+\sqrt{mn})^2$ 求最值。
（2014·陕西）
设 $a,b,m,n \in R$，且 $a^2+b^2=5$，$ma+nb=5$，则 $\sqrt{m^2+n^2}$ 的最小值为
解析：由柯西不等式得，$(ma+nb)^2 \leqslant (m^2+n^2)(a^2+b^2)$
因为 $a^2+b^2=5$，$ma+nb=5$，所以 $m^2+n^2 \geqslant 5$，
所以 $\sqrt{m^2+n^2}$ 的最小值为 $\sqrt{5}$。故答案为 $\sqrt{5}$。
因为 $a^2+b^2=5$，$ma+nb=5$，所以 $m^2+n^2 \geqslant 5$，
所以 $\sqrt{m^2+n^2}$ 的最小值为 $\sqrt{5}$。故答案为 $\sqrt{5}$。
拓展2 权方和不等式
若 $a_i>0,b_i>0,m>0$，则 $\frac{a_1^{m+1}}{b_1^m}+\frac{a_2^{m+1}}{b_2^m}+\cdots+\frac{a_n^{m+1}}{b_n^m} \geqslant \frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^{m+1}}{(b_1+b_2+\cdots+b_n)^m}$
当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$ 时，等号成立。
$m$ 为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次。
当且仅当 $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$ 时，等号成立。
$m$ 为该不等式的权，它的特点是分子的幂比分母的幂多一次。
例题
权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设 $a,b,x,y>0$，则 $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \geqslant \frac{(a+b)^2}{x+y}$，当且仅当 $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$ 等号成立。根据权方和不等式，函数 $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{4}{1-4x}\left(0
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
解析：由权方和不等式，可得 $f(x)=\frac{2^2}{4x}+\frac{2^2}{1-4x} \geqslant \frac{(2+2)^2}{4x+(1-4x)}=16$
当且仅当 $\frac{2}{4x}=\frac{2}{1-4x}$ 即 $x=\frac{1}{8}$ 时，$f(x)$ 的最小值为16。故选D。
当且仅当 $\frac{2}{4x}=\frac{2}{1-4x}$ 即 $x=\frac{1}{8}$ 时，$f(x)$ 的最小值为16。故选D。